Oma esimesele küsimusele otse vastamiseks: jah, "tihedus" on USA-s matemaatika keskmises kuni tipus kõrgema astme programmides üsna tavaline, kui jõuate kaugemale kursustest "kohustuslik / põhiline". Peaaegu kõigi õppeainete jaoks on palju tagamaid ja õppejõud soovivad jõuda praeguste sündmuste lähedale. Samuti on tavaline, et inimese ettekujutus teravast, tõhusast, läbinägelikust kursusest ei kajastu olemasolevates õpikutes täpselt, mistõttu kirjutatakse vastavusse märkmeid. (See on parem kui "vanasti", enne TeX-i, kui enamasti puudusid igasugused avaldatud märkmed, isegi mitte käsitsi kirjutatud, nii et märkmete tegemine klassis oli kriitiline.)

Eriti "abstraktse" funktsionaalse analüüsi kohta, jah, ma arvan, et on õiglane öelda, et paljude standardsete tekstide (ja praktikute) stiil on liikunud teatud suunas, sealhulgas "tihedus". Vanemast ajast pärit lustakas ja mitte eriti kasulik vastupidine oli Dunfordi-Schwartzi 3-köiteline ekstravagants, mis käsitles peaaegu kõiki matemaatikat nii, nagu lugejad poleks sellest kuulnud. Määravad tegurid, polünoomid jms. Loomulikult tekitas selline väikese tihedusega suure mahuga lähenemine omad probleemid, millest kõige olulisem oli leida peamised näited, mis ei kuulunud "üldise" matemaatika ossa, vaid olid spetsiifilised funktsionaal-analüütilistele ideedele.

Järgnevate aastakümnete monograafiad või tekstid "topoloogiliste vektorruumide" kohta on mulle alati olnud matemaatika muude osadega seoste loomisel eriti omapärased, ehkki "võib-olla olen see lihtsalt mina". Ma ei suuda kõiki võimalikke omadussõnu sirgena hoida ja ma ei näe neist mõtet ega ole ka näited mulle selged. Jällegi, võib-olla on see lihtsalt minu enda piiratud huvi, sest mulle meeldib pigem "rakenduste" "funktsionaalne analüüs" (autorfsetele vormidele ja nendega seotud küsimustele) kui tema enda või "matemaatikavälised rakendused".

Punkt, mis ei olnud mulle pikka aega selge, on see, et topoloogiliste vektorruumide "eksootilisemad" tüübid (ja nende perekonnad, nagu Sobolevi-kosmose teoorias) ei ole ainult " käepärane ", kuid oluline paljude süütuna näivate arutelude legitiimseks muutmisel. Niisiis, mitte ainult Frecheti tühikud, vaid LF-tühikud (Frecheti ranged induktiivsed piirid), mis juba ilmuvad õige topoloogiana näiteks $ C ^ o_c (\ mathbb R) $. Kvaasi-täielikkuse mõiste on tõesti vajalik, kuna LF-tühikud pole kunagi "täielikud" (kui need pole salaja Frechet), vaid on alati peaaegu täielikud. Ja peaaegu täielikkusest piisab paljude oluliste asjade toimimiseks, näiteks Gelfand-Pettise (või Bochneri) ideed vektoriga hinnatud integraalide kohta ja Grothendiecki tulemused holomorfsete vektoriga hinnatud funktsioonide kohta ja tugevad operaatori topoloogia (nõrgem kui Hilachti ruumi operaatorite Banachi-ruumi ühtne normtopoloogia). Holomorfse jaotusega hinnatud funktsioonid jne. (Minu veebipõhised funktsionaalse analüüsi märkused lähevad kindlasti sellisesse suunda.)

Lühidalt öeldes on näited kriitilised nii omadussõnade ja teoreemide illustreerimiseks kui ka vajadus tutvustada erinevaid topoloogiliste vektorruumide näiliselt eksootilisi tüüpe.

Samal ajal arvan, et juhuslike vastunäidete nõudmistele vastupanu ülesehitamine on hea, nagu ka punktikomplektide puhul topoloogia. Mõni vastunäide on märkimisväärne, teine ​​mitte. Palju aega saab tappa, mitte eriti kasumlikult, püüdes illustreerida kõiki võimalikke loogilisi erisusi. Ära tee seda.

Funktsionaalne analüüs on üks neist õppeainetest, mida saab korraldada nii mitmel erineval viisil, et kahel juhuslikult valitud õpikul pole peaaegu kunagi loogiliselt ega pedagoogiliselt teemasid sarnases järjekorras. Näiteks võib üks õpik teoreemi B tõendada lause A tagajärjel, kus teine ​​raamat (või teie klassi märkmed) võib tõestada lause B nullist ja kasutada seda lause A tõestamiseks. Seetõttu võivad teie välised viited olla segadust tekitavad rohkem kui nad aitavad. Teise ettekande nägemine võib pärast selle tunni lõppu olla väga kasulik, kuid arvan, et praegu peaksite kahekordistama professori märkmete mõistmist. Uurimisgrupid võivad selles tohutult aidata, nagu ka professorile küsimuste esitamine tööajal (mis tal loodetavasti on).

Kas leiate raamatu professori märkmete täiendamiseks? Kasutasin J.T. Oden ja L. Demkowicz. Funktsionaalne analüüs. CRC Press. 1996. kui ma läksin kursusele prof Demkowiczi käest ~ 2000. Leidsin, et see on kasulik ja mul on siiski aega sellele aeg-ajalt viidata.